O cubo mágico

Um dos exemplos de cubos mais famosos é o cubo mágico. Todos já brincaram com ele pelo menos uma vez.

Segue abaixo um tutorial de como resolver o tão famoso cubo mágico.

Cubo

Passaremos a falar agora sobre um dos mais famosos sólidos geométricos O CUBO.
Um cubo é um hexaedro regular. É um dos cinco sólidos platónicos.Tem 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.
O cubo possui, no total, 11 planificações distintas. E são elas:

A área total A e volume V de um cubo de comprimento de aresta a são:

Lista de Exercícios G.E.

01) (FATEC/SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

02) Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de arestas é 12. Qual é o número de vértices desse poliedro?

03) Um poliedro convexo possui 2 faces triangulares e 3 faces quadrangulares.Determine o número de arestas e de vértices desse poliedro.

04) Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?

05) Determinar o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.

06) Determinar o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e quatro faces triangulares.

07)Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12. Calcular o número de arestas.

Exercícios resolvidos

Questão 1

Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura. 

Resposta:

Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20

As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:

              

De acordo com a relação de Euler, temos que:

F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32

O poliedro em questão possui 32 faces. 

Questão 2

Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro. 

Resposta:

V: vértice
A: arestas
F: faces

F = V – 3
F = 10 – 3
F = 7

O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices

Questão 3

(FAAP-SP)

Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 

Resposta:

* F + V = A + 2
* A = V + 6

F + V = V + 6 + 2
F + V – V = 8
F = 8

O poliedro possui 8 faces.

Video aula Geometria Espacial

Segue abaixo uma vídeo aula do assunto que estamos estudando.

Relação de Euler

Vamos observar uma propriedade nos poliedros convexos a seguir:

Cubo
Vértices: 8
Arestas: 12
Faces: 6







Somando o número de vértices com o número de faces, temos: 8 + 6 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números!

Octaedro
Vértices: 6
Arestas: 12
Faces: 8







Fazendo a mesma conta com o octaedro: 6 + 8 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números novamente!

Pirâmide quadrangular
Vértices: 5
Arestas: 8
Faces: 5







Na pirâmide, o mesmo: 5 + 5 = 10. E o número de arestas?

O que aconteceu em todos os casos?

O número de vértices, somado ao número de faces, é igual ao número de arestas mais 2!

Essa é a Relação de Euler para poliedros convexos: 

Poliedros

As figuras geométricas espaciais também recebem o nome de sólidos geométricos, que são divididos em: poliedros e corpos redondos. Vamos abordar as definições e propriedades dos poliedros. 

Poliedros são figuras geométricas formadas por três elementos básicos: vértices, arestas e faces. Um poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes.